Тип технофайла: учебное пособие
Формат: RAR - djvu
Размер: 2,1Мb
Описание: Учебное пособие (1982 г.) для студентов-заочников физико-математических факультетов пединститутов по разделам «Ряды» и «Ряды Фурье» программы курса «Математический анализ». Учебник состоит из пяти глав: основные понятия, формула и ряд Тейлора, числовые ряды, функциональные ряды, степенные ряды, ряды Фурье. После каждого параграфа приводятся вопросы для самоконтроля и упражнения, в конце учебника даны ответы к упражнениям. Также в учебнике приводятся решения типовых задач.

Глава I. Основные понятия, формула и ряд Тейлора
§ 1. Числовые ряды. Сходимость и расходимость числового ряда
1. Числовые ряды
2. Сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды
§ 2. Свойства сходящихся рядов
1. Необходимый признак сходимости ряда. Остаток ряда
2. Свойства сходящихся рядов
§ 3. Функциональные ряды и их область сходимости
1. Степенные ряды
2. Тригонометрические ряды
§ 4. Формула Тейлора
§ 5. Разложение функций в ряд Тейлора
1. Ряд Тейлора
2. Разложение функции у = lg (1 + x)
3. Разложение функции у = arctg х
4. Разложение в степенной ряд функции у = е в степени х
5. Разложение в степенной ряд функций у = sin х, у = cos х
6. Разложение функции у = (1 + х) а, где \х\ < 1 и а — любое число
7. Разложение других элементарных функций

Глаза II. Числовые ряды
§ 6. Признаки сходимости числовых рядов с неотрицательными членами
1. Признаки сравнения
2. Признаки сходимости Даламбера и Коши
3. Интегральный признак сходимости Коши
4. Примеры исследования рядов на сходимость
§ 7 Свойства рядов с неотрицательными членами
1. Перестановка членов ряда с неотрицательными членагми
2. Группировка членов и умножение рядов с неотрицательными членами
§ 8. Знакопеременные ряды
1. Теорема Лейбница
2. Абсолютно сходящиеся ряд
3. Свойства абсолютно сходящихся рядов
4. Свойства условно сходящихся рядов
§ 9. Числовые ряды в комплексной области

Глава III. Функциональные ряды
§ 10 Область сходимости функциональных рядов
§ 11. Равномерная сходимость функциональных рядов
1. Введение
2. Чебышевское расстояние между функциями
3. Равномерно сходящиеся функциональные последовательности
4. Равномерно сходящиеся ряды. Признак Вейерштрасса
5. Сохранение свойства непрерывности в случае равномерной сходимости
§ 12. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов
1. Почленное интегрирование функциональных рядов
2. Почленное дифференцирование функциональных рядов
§ 13. Функции комплексного переменного. Функциональные последовательности и ряды в комплексной области
1. Функции комплексного переменного
2. Дифференцирование функций комплексного переменного
3. Функциональные последовательности и ряды в комплексной области

Глава IV. Степенные ряды
§ 14. Круг сходимости степенного ряда
1. Теорема Абеля
2. Область сходимости степенного ряда. Круг и радиус сходимости
3. Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда
§ 15. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование степенных рядов
1. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов в действительной области
2. Почленное дифференцирование рядов в комплексной области
3. Единственность разложения функции в степенной ряд
§ 16. Показательная и тригонометрические функции в комплексной области
1. Показательная функция в комплексной области
2. Тригонометрические функции в комплексной области. Формулы Эйлера
§ 17. Некоторые приложения рядов
1. Вычисление значений функций и интегралов
2. Вычисление пределов
3. Метод последовательных приближений

Глава V. Ряды Фурье
§ 18. Ортонормированные системы функций
1. Введение
2. Скалярное произведение функций
3. Ортонормированные системы функций
§ 19. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье
1. Коэффициенты Фурье
2. Коэффициенты Фурье для тригонометрических систем функций
§ 20. Лемма Римана
1. Кусочно гладкие функции
2. Лемма Римана
§ 21. Достаточные условия сходимости рядов Фурье
1. Формула для частичных сумм ряда Фурье
2. Сходимость разложения кусочно гладких функций в ряды Фурье
3. Разложение функций, заданных на конечных промежутках, в ряд Фурье
4. Разложение четных и нечетных функций в ряды Фурье
5. Примеры разложения функций в ряды Фурье
Ответы к упражнениям