Глава 1. Число. Переменная. Функция
1. Действительные числа. Изображение действительных чисел точками числовой оси
2. Абсолютная величина действительного числа
3. Переменные и постоянные величины
4. Область изменения переменной величины
5. Упорядоченная переменная величина. Возрастающая и убывающая переменные величины
6. Функция
7. Способы задания функции
8. Основные элементарные функции. Элементарные функции
9. Алгебраические функции
10. Полярная система координат
Упражнения к главе 1

Глава 2. Предел. Непрерывность функций
1. Предел переменной величины. Бесконечно большая переменная величина
2. Предел функции
3. Функция, стремящаяся к бесконечности. Ограниченные функции
4. Бесконечно малые и их основные свойства
5. Основные теоремы о пределах
6. Предел функции sin x/x при x-0
7. Число e
8. Натуральные логарифмы
9. Непрерывность функций
10. Некоторые свойства непрерывных функций
11. Сравнение бесконечно малых
Упражнения к главе 2

Глава 3. Производная и дифференциал
1. Скорость движения
2. Определение производной
3. Геометрическое значение производной
4. Дифференцируемость функций
5. Производная от функции y=xn при n целом и положительном
6. Производные от функций y=sin x, y=cos x
7. Производные постоянной, произведения постоянной на функцию, суммы, произведения, частного
8. Производная логарифмической функции
9. Производная от сложной функции
10. Производные функций y=tg x, y=ctg x, y=ln x
11. Неявная функция и ее дифференцирование
12. Производные степенной функции при любом действительном показателе, показательной функции, сложной показательной функции
13. Обратная функция и ее дифференцирование
14. Обратные тригонометрические функции и их дифференцирование
15. Таблица основных формул дифференцирования
16. Параметрическое задание функции
17. Уравнения некоторых кривых в параметрической форме
18. Производная функции, заданной параметрически
19. Гиперболические функции
20. Дифференциал
21. Геометрическое значение дифференциала
22. Производные различных порядков
23. Дифференциалы различных порядков
24. Производные различных порядков от неявных функций и функций, заданных параметрически
25. Механическое значение второй производной
26. Уравнения касательной и нормали. Длины подкасательной и поднормали
27. Геометрическое значение производной радиус-вектора по полярному углу
Упражнения к главе 3

Глава 4. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
1. Теорема о корнях производной (теорема Ролля)
2. Теорема о конечных превращениях (теорема Лагранжа)
3. Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши)
4. Предел отношения двух бесконечно малых величин ("раскрытие неопределенностей вида 0/0")
5. Предел отношения двух бесконечно больших величин ("раскрытие неопределенностей вида")
6. Формула Тейлора
7. Разложение по формуле Тейлора функций
Упражнения к главе 4

Глава 5. Исследование поведения функций
1. Постановка задачи
2. Возрастание и убывание функции
3. Максимум и минимум функций
4. Схема исследования дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой производной
5. Ислледование функции на максимум и минимум с помощью второй производной
6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
7. Применение теории максимума и минимума функций к решению задач
8. Исследование функции на максимум и минимум с помощью формулы Тейлора
9. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
10. Асимптоты
11. Общий план исследования функций и построения графиков
12. Исследование кривых, заданных параметрически
Упражнения к главе 5

Глава 6. Кривизна криовй 1. Длина дуги и ее производная
2. Кривизна
3. Вычисление кривизны
4. Вычисление кривизны линии, заданной параметрически
5. Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах
6. Радиус и круг кривизны. Центр кривизны. Эволюта и эвольвента
7. Свойства эволюты
8. Приближенные вычисление действительных корней уравнения
Упражнения к главе 6

Глава 7. Комплексные числа. Многочлены
1. Комплексные числа. Исходные определения
2. Основные действия над комплексными числами
3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа
4. Показательная функция с комплексным показателем и ее свойства
5. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа
6. Разложение многочлена на множители
7. О кратных корнях многочлена
8. Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней
9. Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа
10. Интерполяционная формула Ньютона
11. Численное дифференцирование
12. О наилучшем приближении функций многочленами. Теория Чебышева
Упражнения к глава 7

Глава 8. Функции нескольких переменных
1. Определение функции нескольких переменных
2. Геометрическое изображение функции нескольких переменных
3. Частное и полное приращение функции
4. Непрерывность функции нескольких переменных
5. Частные производные функции нескольких переменных
6. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных
7. Полное приращение и полный дифференциал
8. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях
9. Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях
10. Производная сложной функции. Полная производная. Полный дифференциал сложной функции
11. Производная от функции, заданной неявно
12. Частные производные различных порядков
13. Поверхности уровня
14. Производная по направлению
15. Градиент
16. Формула Тейлора для функции двух переменных
17. Максимум и минимум функции нескольких переменных
18. Максимум и минимум функции нескольких переменных, связанных данными уравнениями (условные максимумы и минимумы)
19. Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов
20. Особые точки кривой
Упражнения к главе 8

Глава 9. Приложения дифференциального исчисления к геометрии в пространстве
1. Уравнения кривой в пространстве
2. Предел и производная векторной функции скалярного аргумента
3. Правила дифференцирования векторов (векторных функций)
4. Первая и вторая производные вектора по длине дуги. Кривизна кривой. Главная нормаль. Скорость и ускорение точки в криволинейном движении
5. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение
6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Упражнения к главе 9

Глава 10. Неопределенный интеграл
1. Первообразная и неопределенный интеграл
2. Таблица интегралов
3. Некоторые свойства неопределенного интеграла
4. Интегрирование методом замены переменной или способом подстановки
5. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен
6. Интегрирование по частям
7. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование
8. Разложение рациональной дроби на простейшие
9. Интегрирование рациональной дроби
10. Интегралы от иррациональных функций
11. Интегралы вида
12. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
13. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок
14. О функциях, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции
Упражнения к главе 10

Глава 11. Определенный интеграл
1. Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы
2. Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла
3. Основные свойства определенного интеграла
4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница
5. Замена переменной в определенном интеграле
6. Интегрирование по частям
7. Несобственные интегралы
8. Приближенное вычисление определенных интегралов
9. Формула Чебышева
10. Интегралы, зависящие от параметра. Гамма-функция
11. Интегрирование комплексной функции действительной переменной
Упражнения к главе 11

Глава 12. Геометрические и механические приложения определенного интеграла
1. Вычисление площадей в прямоугольных координатах
2. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах
3. Длина дуги кривой
4. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений
5. Объем тела вращения
6. Площадь поверхности тела вращения
7. Вычисление работы с помощью определенного интеграла
8. Координаты центра масс
9. Вычисление момента инерции линии, круга и цилиндра с помощью определенного интеграла
Упражнения к главе 12

Предметный указатель